١
زوايا المثلث = ١٨٠°
القاعدة: مجموع زوايا المثلث الثلاث الداخلية = ١٨٠°
مثال: زاويتان في مثلث قياسهما ٦٠° و ٥٠°، فالزاوية الثالثة = ١٨٠° − ٦٠° − ٥٠° = ٧٠°
نصيحة: إذا عُرفت زاويتان، تُوجد الثالثة بالطرح من ١٨٠° مباشرة.
◉ القسم الأول: الزوايا الأساسية
٢
نظرية فيثاغورس
القاعدة: في المثلث القائم: (الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)²
مثال: ضلعان قائمان طولاهما ٣ و ٤، فالوتر = √(٩ + ١٦) = √٢٥ = ٥
نصيحة: الأضلاع الشهيرة: ٣-٤-٥ ، ٥-١٢-١٣ ، ٦-٨-١٠.
٣
الزاويتان المتتامتان (٩٠°)
القاعدة: الزاويتان المتتامتان مجموعهما ٩٠° (تكوّنان زاوية قائمة).
مثال: إذا كانت إحدى الزاويتين ٣٥°، فإن تتمتها = ٩٠° − ٣٥° = ٥٥°
نصيحة: تتمة الزاوية س = (٩٠° − س).
٤
الزاويتان المتكاملتان (١٨٠°)
القاعدة: الزاويتان المتكاملتان مجموعهما ١٨٠° (تكوّنان زاوية مستقيمة).
مثال: إذا كانت إحدى الزاويتين ١١٠°، فإن تكملتها = ١٨٠° − ١١٠° = ٧٠°
نصيحة: تكملة الزاوية س = (١٨٠° − س).
٥
الزوايا المتقابلة بالرأس (متساوية)
القاعدة: الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان دائمًا.
مثال: إذا كانت إحدى الزوايا ٤٠°، فإن المقابلة لها بالرأس = ٤٠°، والمجاورة لها = ١٤٠°.
نصيحة: الزاويتان المتجاورتان بالرأس متكاملتان (مجموعهما ١٨٠°).
◉ القسم الثاني: الخطوط المتوازية والقاطع
٦
الزوايا الداخلية المتناوبة
القاعدة: إذا قاطع مستقيمٌ خطّين متوازيين، فإن الزاويا الداخلية المتناوبة متساوية.
مثال: إذا كانت إحدى المتناوبتين الداخليتين ٧٠°، فإن الأخرى = ٧٠°.
نصيحة: المتناوبتان تقعان على جانبين مختلفين من القاطع وبين الخطين.
٧
الزوايا المتناظرة
القاعدة: إذا قاطع مستقيم خطّين متوازيين، فإن الزوايا المتناظرة متساوية.
مثال: إذا كانت إحدى المتناظرتين ٦٥°، فإن الأخرى = ٦٥°.
نصيحة: المتناظرتان في نفس الجهة من القاطع وفوق (أو تحت) الخطين.
◉ القسم الثالث: الدائرة وزواياها
٨
الزاوية المحيطية = ½ المركزية
القاعدة: الزاوية المحيطية التي تحصر القوس نفسه = ½ الزاوية المركزية.
مثال: إذا كانت الزاوية المركزية ١٠٠°، فإن المحيطية المرسومة على القوس نفسه = ٥٠°.
نصيحة: الزاوية المحيطية في نصف الدائرة (قطر) = ٩٠° دائمًا.
٩
محيط الدائرة = ٢π نق
القاعدة: محيط الدائرة = ٢ × π × نصف القطر = 2πr = πd
مثال: دائرة نصف قطرها ٧، محيطها = ٢ × ٢٢/٧ × ٧ = ٤٤ وحدة.
نصيحة: استخدم ط ≈ ٢٢/٧ للقسمة على ٧، و ط ≈ ٣٫١٤ للحسابات العشرية.
١٠
مساحة الدائرة = πr²
القاعدة: مساحة الدائرة = π × مربع نصف القطر = πr²
مثال: دائرة نصف قطرها ٥، مساحتها = ط × ٢٥ = ٢٥π ≈ ٧٨٫٥ وحدة².
نصيحة: قطّع الدائرة لشرائح رفيعة وأعد ترتيبها فتحصل على متوازي أضلاع طوله πr وارتفاعه r.
◉ القسم الرابع: المساحات
١١
مساحة المثلث = ½ × ق × ع
القاعدة: مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع = ½ × ق × ع
مثال: مثلث قاعدته ١٠ وارتفاعه ٦، مساحته = ½ × ١٠ × ٦ = ٣٠ وحدة².
نصيحة: الارتفاع دائمًا عمودي على القاعدة (وليس بالضرورة الضلع الآخر).
١٢
مساحة متوازي الأضلاع = ق × ع
القاعدة: مساحة متوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع = ق × ع
مثال: متوازي أضلاع قاعدته ١٢ وارتفاعه ٧، مساحته = ١٢ × ٧ = ٨٤ وحدة².
نصيحة: الارتفاع ليس الضلع المائل، بل العمود النازل من القمة على القاعدة.
١٣
مساحة شبه المنحرف = ½(ق١+ق٢)×ع
القاعدة: مساحة شبه المنحرف = ½ × (القاعدة₁ + القاعدة₂) × الارتفاع
مثال: شبه منحرف قاعدتاه ٨ و ١٢ وارتفاعه ٥، مساحته = ½ × (٨+١٢) × ٥ = ٥٠.
نصيحة: القاعدتان متوازيتان، والارتفاع هو المسافة العمودية بينهما.
◉ القسم الخامس: المضلعات المنتظمة
١٤
زوايا المضلع الخماسي (١٠٨°)
القاعدة: مجموع زوايا المضلع = (ن − ٢) × ١٨٠° ، وكل زاوية في المنتظم = (ن − ٢) × ١٨٠° ÷ ن
مثال: الخماسي (ن=٥): المجموع = ٣ × ١٨٠° = ٥٤٠°، وكل زاوية = ٥٤٠° ÷ ٥ = ١٠٨°.
نصيحة: كلما زاد عدد الأضلاع، زادت الزاوية الداخلية واقترب المضلع من الدائرة.
١٥
زوايا المضلع السداسي (١٢٠°)
القاعدة: السداسي المنتظم: كل زاوية داخلية = ١٢٠° (ينقسم إلى ٦ مثلثات متساوية الأضلاع).
مثال: السداسي (ن=٦): المجموع = ٤ × ١٨٠° = ٧٢٠°، وكل زاوية = ٧٢٠° ÷ ٦ = ١٢٠°.
نصيحة: السداسي المنتظم وحده يملأ المستوي بدون فراغات (٦ × ١٢٠° = ٧٢٠° حول النقطة).
١٦
عدد الأقطار = ن(ن−٣)÷٢
القاعدة: عدد أقطار المضلع الذي أضلاعه ن = ن(ن − ٣) ÷ ٢
مثال: السداسي (ن=٦): عدد الأقطار = ٦ × ٣ ÷ ٢ = ٩ أقطار.
نصيحة: من كل رأس يخرج (ن − ٣) قطرًا (لا يصل لنفسه ولا للجارَين).
◉ القسم السادس: أنواع المثلثات
١٧
المثلث المتساوي الساقين
القاعدة: في المثلث المتساوي الساقين: الضلعان المتقابلان للقاعدة متساويان، وزاويتا القاعدة متساويتان.
مثال: إذا كانت زاوية قاعدة = ٤٠°، فإن الأخرى = ٤٠°، والزاوية عند الرأس = ١٨٠° − ٨٠° = ١٠٠°.
نصيحة: ارتفاع المثلث المتساوي الساقين من الرأس هو أيضًا وسيط ومنصف للزاوية.
١٨
المثلث المتساوي الأضلاع
القاعدة: المثلث المتساوي الأضلاع: جميع أضلاعه متساوية وجميع زواياه = ٦٠°.
مثال: مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٦، فإن محيطه = ٣ × ٦ = ١٨، وارتفاعه = ٣√3 ≈ ٥٫٢.
نصيحة: ارتفاع المثلث المتساوي الأضلاع = (الضلع × √٣) ÷ ٢.
١٩
مثلث ٣-٤-٥ الشهير
القاعدة: أصغر ثلاثية فيثاغورس: ٣² + ٤² = ٥² (٩ + ١٦ = ٢٥).
مثال: مثلث قائم ضلعاه ٣ و ٤، فالوتر = ٥ (بدون حساب، تذكّر الثلاثية مباشرة).
نصيحة: تذكّر ثلاثيات فيثاغورس: ٣-٤-٥ ، ٥-١٢-١٣ ، ٦-٨-١٠ ، ٨-١٥-١٧.
٢٠
الدائرة: نصف القطر والقطر والوتر
القاعدة: القطر = ٢ × نصف القطر. الوتر: قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على الدائرة.
مثال: دائرة قطرها ١٠، فنصف قطرها = ٥، وأكبر وتر فيها هو القطر = ١٠.
نصيحة: القطر هو أطول وتر في الدائرة، والوتر المار بالمركز يكون قطرًا.